Instrumentación: filtros activos

Ésto es una ampliación de los filtros que se vieron en el temario de Analógica: sistema.

Como se supone, los filtros sirven para atenuar unas frecuencias, dejando pasar o amplificando las que nos interesan. Los filtros pasivos se componen simplemente de una resistencia y un condensador. Para hacer un filtro activo, utilizamos también un amplificador operacional.

Filtros de primer orden

Los filtros pasivos son un ejemplo de filtro de primer orden, el orden de un filtro se puede distinguir por la pendiente antes o a partir de la frecuencia de corte. Un filtro de primer orden tiene una pendiente de +-20 decibelios por década (dB/déc).

Vamos a ver los distintos circuitos que nos dan los filtros activos del mismo tipo.

Filtro paso bajo

Éste filtro deja pasar las frecuencias más bajas con una ganancia, y al llegar a cierta frecuencia, la ganancia empieza a disminuir.

Su función de transferencia es:

Donde podemos distinguir dos partes: la ganancia estática de las frecuencias más bajas (-R/R1) y el factor de atenuación según la frecuencia en la que se encuentre.

La frecuencia a la que empieza a disminuir, llamada frecuencia de corte, se trata de la frecuencia en la que el factor de atenuación dependiente de la frecuencia deja de ser despreciable. Exactamente, se considera justo la frecuencia de corte cuando se da una ganancia de -3 dB respecto a la ganancia estática. A partir de ahí, la ganancia tiene una pendiente de -20 dB/déc.

Ésta frecuencia es exactamente… 

Podemos dibujar la función de transferencia según la frecuencia en un diagrama de Bode, donde podemos ver cómo evoluciona la ganancia y la fase de la señal (que se verá desfasada al paso por el filtro):

Filtro paso alto

De la misma forma pero al contrario, podemos encontrar un filtro que atenúa las frecuencias bajas, según aumenta la frecuencia, la ganancia va aumentando con una pendiente de +20 dB/déc. Una vez llegada a la frecuencia de corte, se establece una ganancia estática.

Una curiosidad de éste filtro es que elimina la continua totalmente (que no es capaz de atravesar el condensador), por lo que podemos usarlo para quitar el offset a una señal.

Filtros de segundo orden

Los filtros de segundo orden son los que tienen pendientes de +-40 dB/déc. Tienen en la función de transferencia un término elevado al cuadrado.

El denominador de éstos filtros es común a todos ellos, tienen ésta forma:

Donde “a” es el factor de amortiguamiento, que determinará el factor de calidad y a su vez el pico de ganancia que se produce a la frecuencia de corte.

Si queremos que el filtro de segundo orden tenga una ganancia de -3 dB en la frecuencia de corte, debe ser tipo Butterworth, que significa simplemente que a = 0.7072

Vamos a ver las estructuras básicas:

Sallen-Key paso bajo

Contiene 2 condensadores y 2 resistencias iguales que marcan la frecuencia de corte, y además no afectan a la ganancia estática, que en éste caso hemos llamado K, que sí afecta al factor de amortiguamiento:

El paso siguiente es simple:

Sallen-Key paso alto

Hay otra estructura típica:

MFB paso bajo

En éste caso la función de transferencia es mucho más compleja:

Pero si ponemos todas las resistencias iguales, K se hace -1 y el resto:

Lo cual es mucho más simple, puede ser mejor para diseñarlo.

MFB paso alto

Y volvemos a simplificar, pero ahora se hacen todos los condensadores iguales:

Filtros de orden superior

Si queremos un filtro de orden mayor que 2, simplemente tenemos que hacer una combinación de los circuitos que hemos visto antes. Por ejemplo, si queremos un filtro de tercer orden (pendiente +-60 dB/déc) combinaremos en serie un filtro de orden 1 con un filtro de orden 2.

El problema es que aquí el factor de amortiguamiento cambia, y “a” deja de ser 0.7072 para un tipo Butterworth. Para saber qué factor tenemos que poner a cada uno de los filtros puestos en serie, se toma una tabla:

Pero en ésta tabla, ojo, lo que se muestra es 2a. Aquí vemos la combinación de filtros que tenemos que hacer para cualquier orden y calcular “a”, simplemente dividiendo por dos el número que multiplica a “s”.

Filtros de respuesta resonante

Son unos filtros cuya única función es dejar pasar, o eliminar, una frecuencia central seleccionada y atenuar las demás. Su respuesta en frecuencia puede verse así:

Se define como el ancho de banda (BW) el espacio de frecuencias alrededor de la frecuencia central cuya ganancia ha caído en 3 dB. Con el ancho de banda, podemos determinar el factor de calidad Q, y viceversa.

MFB pasabanda

Filtro parabanda

Es un circuito extraño con 2 amplificadores operacionales y cuya Q depende de la posición “a” de un potenciómetro:

Software para el diseño

Si queréis diseñar un filtro complejo, lo mejor es descargarse el Filter Pro de Texas Instruments (gratuito) y usarlo, además es bastante simple y creo que admite hasta el diseño de un orden 20.

Entre otras ventajas, puedes seleccionar valores de resistencias y condensadores normalizados y ver su diagrama de Bode y cómo cambia, además de más tipos aparte de Butterworth con distintos factores de amortiguamiento.

Es necesario tener cuenta en TI (gratis)

Download FilterPro v3.1

Automática 1: Entrada y respuesta

Ya introduje que dada una entrada, a la salida del sistema obtendremos una respuesta que se puede predecir con la función de transferencia.

Entradas típicas

Cada tipo de entrada de las que se vio en la tabla induce al sistema a responder de una manera distinta, ahora veréis la forma que tienen las entradas impulso, escalón y rampa:

En ésta gráfica sólo se observan el escalón y la rampa. El impulso no se ve por algo lógico: sólo dura un diferencial de tiempo, un espacio tan corto que no se molesta en dibujarlo, pero os aseguro que está ahí y llega hasta 1. Lo mismo ocurre con la subida del escalón, ya que ésta se hace en forma de impulso.

Pongamos ahora que nuestro sistema tiene ésta fdt:

Las respuestas con éstos tres tipos de entrada son distintas:

Como veis, cada respuesta sigue a su referencia. El impulso actúa un momento y vuelve a 0, por lo que siempre va a alcanzarse. El escalón no, y la rampa tampoco, debido a que tienen una ganancia estática y un error que veremos más adelante.

¿Qué es la ganancia estática? Ésto:

Por ejemplo, como tenemos la función de transferencia, si ponemos 0 donde hay s, se queda una Kest=1/3=0.3333

Y si os fijáis, 0.3333 (1 que vale el escalón por Kest) es donde se para la gráfica. Si ahora pongo escalones de distintos tamaños (1, 10 y 20):La respuesta termina exactamente en 1/3, 10/3 y 20/3.

Otra característica importante: ¿cuándo alcanza ésta referencia? Se suele usar la aproximación:

¿Veis que no cuadra la función de transferencia del tiempo que he dado con la del ejemplo? Éso es porque estamos usando una fdt de segundo o mayor grado, en éste caso sobreamortiguada, ya que no oscila. Sin embargo, si utilizásemos una  función tal como G=1/(4s+1) veríamos que ésta deja de ascender aproximadamente en 1 segundo.

Otro tipo de funciones de segundo grado son las subamortiguadas, supongamos que tenemos un proceso con una función de transferencia que está a continuación, una ganancia de 10 y un sensor de ganancia 1:

Calculamos la función de transferencia en bucle cerrado tal como decíamos arriba:

Si aplicamos un step (escalón) a ésto:

Que sea sobreamortiguado o subamortiguado se debe a los parámetros de la función coeficiente de amortiguamiento y pulsación natural.

¿Qué nos interesa medir aquí? Vamos a introducir los mapas de polos. ¿Qué es un polo? Si escribimos la función en bucle abierto, vemos que en la parte de debajo queda una ecuación que se puede simplificar y extraer sus raíces, que en éste caso son s=-0.8455 +- 1.7316i y s=-4.3089. Podemos dibujar éstos puntos en un plano real-imaginario:

A los polos más cercanos (que son los imaginarios en éste caso), los llamamos los polos dominantes. Son los que mandan. Además, cuanto más cerca del 0, más lenta es la respuesta. Si  los polos dominantes están en el eje negativo, la respuesta es estable. Si por casualidad se encuentran sobre el 0, la respuesta es oscilatoria (no va a seguir la referencia jamás, va a ir y venir, como una onda senoidal). Por último, si cualquier polo se encuentra en el eje positivo, la respuesta es inestable.

¿De qué nos sirve saber el polo dominante? Pues para saber por ejemplo:

• tiempo de establecimiento: 4/[Parte real] = 4.73 s en el ejemplo
• sobreoscilación: cuando tiene un pico al principio, se pasa del valor final, a la diferencia entre el valor máximo de dicho pico y el valor estable (no el de referencia) la llamamos sobreoscilación, y se suele expresar en porcentaje:

Sería aproximadamente un 21.56%

• tiempo de pico: en qué momento se produce el pico que hemos mencionado antes: tp = pi/[parte imaginaria], en éste caso 1.81 s.
• error: se puede observar que dada una referencia de 1, ha acabado entre 0.6 y 0.7, dicho error se puede calcular mediante ésta tabla:

¿Qué significa el tipo de sistema? Es la cantidad de integradores que tiene. Un integrador se añade en el regulador, pero suele hacer el sistema inestable. Se expresa como 1/s. Es decir, es tipo es el número de raíces s=0 que tiene el denominador bucle abierto. En éste caso, ninguno, por lo que el error es de 0.375. Si teníamos una referencia de 1-0.375 = 0.625 que coincide con el punto en el que entra en régimen permanente.

Puedo comprobar ésto gráficamente, aunque los resultados que da el software son mucho más precisos y siguen otros métodos: