Potencia 4: control de fuentes conmutadas

El objetivo del control de una fuente conmutada es mantener al mínimo la variación de tensión a la salida, siguiendo la referencia que le pongamos, a pesar de los cambios en la corriente necesaria, variaciones en la carga, o en la alimentación.

En primer lugar, veamos un esquema básico de un control de tensión:

En él podemos ver que la etapa de potencia contiene los parámetros tensión de entrada (Vi), tensión de salida (Vo) y se le añade la acción de control tras un acondicionador, no estrictamente necesario.

Una realimentación, que puede estar formada perfectamente por un divisor resistivo (con ganancia beta), lleva la tensión a un amplificador de error, que toma la referencia de tensión que nosotros elegimos y da a la salida una tensión que es comparada de nuevo con una señal en diente de sierra. Donde el error es mayor que el diente de sierra la salida del comparador es positiva, y por lo tanto activará el conmutador.

Éste es el control más simple y puede llevarse a cabo mediante un integrado tipo SG2524 o SG3524, que incorpora casi todo lo mencionado anteriormente. Aquí tenemos el circuito de una fuente tipo buck:

Sin embargo, éste tipo de integrados no tienen en cuenta las verdaderas propiedades del sistema. Nosotros podemos diseñar un control a medida para el tipo que necesitemos, teniendo en cuenta sus puntos flojos, las inestabilidades, las variaciones mencionadas anteriormente, y podremos hacer que tenga una reacción más rápida y que siga al 100% la referencia, mediante el diseño de un regulador PID que sustituirá el amplificador de error.

Para proceder a diseñar un PID, necesitaremos la función de transferencia del sistema. Tomaremos como ejemplo una fuente tipo Buck. Podemos hallar un modelo en pequeña señal que deja el circuito de la siguiente forma:

“Simplemente” hemos extraido el conmutador y se ha sustituido por un modelo lineal de su funcionamiento.

De ésta forma hemos llegado al circuito anteriormente visto. A partir de éste podremos sacar las funciones de transferencia, por ejemplo, de la tensión de salida respecto a delta cuando ningún otro parámetro está variando (las variaciones de tensión de entrada y carga se consideran nulas).

También se podrán obtener la corriente por la bobina respecto de delta (Gid), la audiosusceptibilidad, que es la tensión de salida respecto a las variaciones de la tensión de entrada (A) y la impedancia de salida (Z)

Todas estas funciones de transferencia dan a conocer parámetros importantes de cada fuente, como son las frecuencias de sus polos y ceros naturales. Datos útiles para el diseño del control con un PID.

Para cada tipo de fuente conmutada la función de transferencia es distinta, por suerte, hace tiempo que las resumí en unas tablas, donde D es delta:

Procedamos al diseño del regulador en modo tensión (solo necesitaremos Gvd). Lo haremos mediante el “método K” de Venable, para ello necesitaremos conocer ciertas condiciones del diseño:

• Frecuencia de conmutación (Fs): frecuencia a la que se hará conmutar el dispositivo de conmutación, normalmente un transistor. Es un parámetro fijo.
• Frecuencia de los polos (Fn): es la frecuencia natural del sistema, obtenida de las expresiones de las tablas anteriores (wn/(2*pi)), y cambia según la inductancia y el condensador que se le ha puesto al filtro.
• Frecuencia de los ceros (Fz): al igual que en el caso anterior viene dado por los componentes. En éste caso lo más normal es que haya dos ceros de frecuencias distintas.
• Frecuencia de cruce (Fc): es la frecuencia donde el bode de magnitud pasa por 0 dB. Si se le da un ancho de banda grande, tendremos una respuesta más rápida aunque se verá más afectada por los ruidos. Ponemos una frecuencia que estará entre:
  • 0.1*Fs < Fc < 0.2*Fs y que cumpla que Fc > 10*Fn para fuentes sin ceros en el semiplano derecho (Buck, Forward)
  • 3*Fn < Fc < 0.3*Fz (del cero en el semiplano derecho) para fuentes con ceros en el semiplano derecho (Boost, Buck-Boost, Flyback)
• Margen de fase: la diferencia de desfase que hay entre el punto en el bode de fase a la frecuencia de cruce con -180º. El margen de fase ideal está entre 60 y 75 grados, pero en el peor de los casos hay que asegurar que sea mayor de 45 grados.
• Modelo del modulador: el comparador que crea la señal PWM a partir de una triangular se modeliza teniendo en cuenta el valor máximo de la señal triangular (Vm), de forma que Fm = 1/Vm

Existen tres tipos de compensadores útiles para éste regulador, y todos se pueden construir mediante un amplificador operacional, resistencias y condensadores:

• Tipo 1: es un simple integrador, su función de transferencia es Av:

Éste tipo lo único de lo que se encarga es de amplificar cualquier error por pequeño que sea, de forma que se sigue siempre la referencia. Es para lo que se usan los integradores puros. Por lo general hace crecer demasiado la señal de error, por lo que son inestables. Lo único que podemos controlar será la frecuencia de cruce variando wp0c, el margen de fase será la fase obtenida en Gvd(Fc) – 90º + 180º. Por ello se suele utilizar cuando arg(Gvd(Fc)) (fase de Gvd a la frecuencia de cruce) es mayor de -30º.

Wp0c se calcula teniendo en cuenta que la función de transferencia en bucle abierto, a la frecuencia de cruce, debe tener una ganancia de 0  dB:

• Tipo 2: tiene un integrador, un polo y un cero. Al contrario que en el caso anterior, podemos controlar el margen de fase, pero únicamente se usa con arg(Gvd(Fc)) entre -90 y -30º.

Para conocer la posición del polo y el cero usaremos un invento llamado Aumento de Fase (AUFA), que determinará un factor K que, dividido a la frecuencia de cruce, nos da la frecuencia exacta a la que se deben situar para obtener el margen de fase requerido. También se diseñará wp0c para que la frecuencia de cruce sea la deseada.

En primer lugar se calcula AUFA:

Introducimos su valor en la ecuación del factor K:

Con  éste valor ya podemos calcular la frecuencia a la que se colocará el polo y el cero:

También calculamos wp0c, teniendo en cuenta que el módulo de la función de transferencia en bucle abierto (Tv) debe ser 1 a la frecuencia de cruce que hemos elegido:

Con ésto ya tenemos completa la función de transferencia del regulador:

Y podemos montarlo físicamente mediante el siguiente circuito:

Si se piensa, o se simula y se obtiene como resultado, que el tipo 1 es inestable, es aconsejable usar un tipo 2, que también será válido.

• Tipo 3: éste contiene el integrador, dos polos y dos ceros. El método es igual que el tipo 2 pero el cálculo del factor K y las frecuencias cambia un poco. Se usa para cuando el arg(Gvd(Fc)) está entre -90 y -180:

Con lo que obtenemos la función de transferencia:

Y podemos implementarlo:

Aunque diría que éste tipo no es tan estable (ni tan simple, lógicamente) como el tipo 2, sí que es bastante robusto. Lo mejor de éstos dos últimos tipos mostrados es que funcionan, los he comprobado tanto en simulación como en el laboratorio y realmente hacen su trabajo.

En un entorno de computación matemática como matlab, si tenéis la ocasión, podéis comprobar que al construir la función de transferencia en lazo abierto (Tv(s) = Gvd(s)*Fm*beta*Av(s)) y al hacer el bode de ésta, en la frecuencia de cruce diseñada hallaréis que se encuentra la ganancia 0 dB y el margen de fase deseado.

Si bien para fuentes conmutadas es más sencillo usar un integrado simplemente, en el caso de los inversores DC/AC sí que son realmente útiles.

También se puede usar un sistema mixto integrado/regulador en el que el regulador se implementa externamente y el integrado crea una referencia y una modulación por señal triangular con mucha precisión.

Técnicas de control 2: discretización de un regulador

Para discretizar un proceso se usa un ZOH o un FOH, pero para un regulador hay muchos métodos, todos válidos, unos mejores que otros. La expresióndiscretizada de un regulador es lo que introducimos en un ordenador que hace de regulador.

En primer lugar, se diseña el regulador en el dominio de Laplace como ya se vio en automática. En segundo, se aplica uno de los siguientes métodos, basados en la integración numérica:

• Rectángulo anterior: como un ZOH,

Sustituimos s por:

• Rectangulo posterior: también parecido al ZOH

• Bilineal: más similar a un FOH, mayor calidad, mayor complejidad

• Mantenimiento de la respuesta: aquí lo que se busca es conseguir una respuesta similar a la del sistema continuo (no discretizado), y depende de la entrada:

• Emparejamiento de polos y ceros: se hace corresponder los polos y ceros de la función continua con los de la función discreta.

El lugar de las raíces al aplicar uno de éstos métodos cambia. Antes teníamos dos planos, real e imaginario, positivo y negativo, entre los cuales diferenciábamos bien cual es la zona de inestabilidad (el plano positivo). Ahora también tenemos éstos, pero la zona de estabilidad se define por una circunferencia centrada en 0 y de radio 1. El método que usemos afectará a los polos y ceros llevándolos dentro o fuera de ésta:

• Rectángulo anterior: algún regulador analógico estable puede hacerse inestable.
• Rectángulo posterior: todos los reguladores analógicos estables son discretos estables, e incluso puede haber algún analógico inestable que se estabilice.
• Bilineal: todos los reguladores analógicos estables son discretos estables.

Automática 3: más reguladores

Hasta ahora hemos visto que todo es muy bonito, que el punto de diseño que queríamos nos ha coincidido con el lugar de las raíces y que con ésto hemos sacado un regulador P, que es suficiente para darnos por satisfechos.

Sin embargo, ¿qué ocurre cuando no coincide el lugar de las raíces? Forzamos a cambiar al LDR hasta que pasa por el punto que queremos, añadiendo un derivador (cero). Qué mejor manera de saber en qué punto poner el cero que con el criterio del argumento.

Regulador PD

Pongamos por ejemplo el último sistema que hemos tomado, su lugar de las raíces va a ser el que sigue y queremos que el tiempo sea menor a 1 segundo y su sobreoscilación menor al 5%.

En ningún momento pasa el LDR por la zona válida de especificaciones (la blanca). Calculamos un punto de diseño que va a ser s = -4+4i (en realidad es +4.19i pero podemos aproximar con total tranquilidad de conciencia, ya que al añadir un cero aumentaremos la sobreoscilación).

A continuación, vamos a ver dónde colocar el cero, calculamos los ángulos con los polos que tenemos: a1=104.0362º, a2=126.8698º.

Hacemos la suma y resta: 104.0362 + 126.8698 – z = 180. Despejamos z y obtenemos: az = 50.906º. De la misma forma que hemos calculado el ángulo de los polos dada su posición, calculamos la posición del cero: tg(angulo) = 4/dz -> dz=3.25 (distancia al punto, se le suma la parte real del punto para saber la distancia al 0 del plano) -> dz=7.25. Colocamos el cero y cambia el LDR:

Ahora calculamos, mediante el criterio del módulo, la ganancia del regulador, que es aproximadamente 29.

Expresamos el cero del derivador como un tiempo de derivación: Td = 1/z = 1/7.25 = 0.138

Y expresamos la función de transferencia del regulador: Gr = 29*(1+0.138*z).

La respuesta que obtenemos con éste regulador es:

Como ya estaba predicho, la sobreoscilación es mayor a la que habíamos pensado porque hemos incluido un cero.

Otra de las cosas que nos preocupan de éste sistema es que, como se ve en la figura, se establece en 0.9. Ésto es el error de posición, que como ya expliqué anteriormente, se soluciona con un integrador, a riesgo de inestabilizar el sistema.

Regulador PI-PID

En caso de no necesitar cambiar el LDR pero sí hacer el error de posición 0, usaríamos un regulador PI, nos olvidamos de poner un derivador. En éste caso, hemos necesitado un PID para cambiar el LDR. Simplemente, una vez puesto el cero del derivador en su sitio, incluimos un polo en el punto 0.

Como era de esperar, un integrador “tal cual” nos ha inestabilizado el sistema. Para volver a estabilizarlo, añadimos otro cero, que llamamos cero del integrador, cuya posición es parte real del punto de diseño dividido por 10:

El programa considera que la pareja polo-cero del integrador afectan al LDR y a la ganancia y cambia. Por lo general nos podemos quedar con la que nos da nada más calcular el derivador, ya que la pareja está “muy próxima” entre sí. Sin embargo, también se puede calcular la nueva ganancia, que daría aproximadamente 12.5. Entonces, expresamos el integrador como un tiempo de integración que es Ti = 1/zi = 1/0.4 = 2.5. Expresamos el regulador completo como:

Gr = 12.5*(1+0.138*s)*(1+1/(2.5*s))

Su respuesta en éste caso ha mejorado mucho en sobreoscilación, pero el tiempo de establecimiento se ha hecho mucho mayor, saliéndose de las especificaciones:

Para arreglar el “estropicio”, lo que haremos será un “ajuste fino” (vamos a ir probando) hasta obtener una relación de sobreoscilación-tiempo de establecimiento que nos convenza (más bien al comprador).

¿Cómo implemento un PID?

“Antiguamente” (hace 2 días porque ésto ha evolucionado mucho), se usaban métodos analógicos para hacer un regulador. Con métodos analógicos me refiero a un circuito (caso regulador electrónico) con amplificadores operacionales que hacen de amplificador (ganancia), integrador y derivador.

Hoy en día, usamos ordenadores con mucha capacidad que muestrean las señales y hacen salir otra de acuerdo a los parámetros que nosotros le configuremos. Además, hay varias formas de expresar éstos parámetros: la forma de cálculo, que es la que he puesto anteriormente, y la forma comercial, que se calcula mediante ésta tabla:

En industria se usan aparatos caros como éste:

Y ésto es todo lo básico de lo básico de automática de 2º. Ya sabemos diseñar un regulador, ahora queremos saber cómo implementarlo en un ordenador y que sea funcional y eficiente: lo llaman técnicas de control.

Cosas “chulas” que podemos llegar a hacer con un PID: control de posición de un helicóptero.

Automática 2: regulador P

Hasta aquí no habíamos hablado de cómo diseñar el regulador y en qué afecta al sistema. Pues bien, en primer lugar, hay algunos sistemas que al principio son estables pero que debido a sus características (por ejemplo que sea muy lento o muy rápido en responder) acaban inestabilizándose o simplemente a nosotros nos conviene cambiar su respuesta. Como visteis en el apartado de polos, éstos afectan al comportamiento del sistema, así como la ganancia que se le aplique. Nos aprovecharemos de ésto y algo más:

Ceros

Los ceros en bucle abierto son las raíces reales que tiene el numerador de la función de transferencia en bucle abierto. En bucle cerrado se van perdiendo por ahí, de forma que si un cero queda en el plano positivo, inestabiliza la respuesta. En cuanto a la respuesta  estable, un cero hace que el pico ocurra antes pero aumenta la sobreoscilación. Un ejemplo:

En éste caso, la acción del cero es tan fuerte que hace a la respuesta cambiar de sobreamortiguada a subamortiguada.

Nos aprovechamos de lo que aportan los ceros para incluirlos en el regulador en forma de derivador.

Lugar de las raíces

En bucle abierto tenemos polos y ceros, que podemos situar sobre un mapa. Entre ellos, podemos trazar lo que llamamos el lugar de las raíces, formado por todos los puntos del plano por el que los polos en bucle cerrado se van a pasear cuando variamos la ganancia. Por ejemplo, la siguiente función de transferencia en bucle abierto:

Tiene un lugar de las raíces como sigue:

Dicho lugar de las raíces (LDR) empareja a polos y ceros de forma que con una ganancia que tiende a 0 estaríamos en los polos (inicio) y con una ganancia que tiende a infinito estaríamos en el cero (final). Cuando no hay un mismo número de polos y ceros, el LDR restante tiende al infinito. Si analizamos éste, podemos predecir que cualquier respuesta debería ser sobreamortiguada, ya que no habría polos en bucle cerrado en puntos con imaginarios. Pero sabemos que es falso. ¿Qué es lo primero que aprendemos? Que el lugar de las raíces miente porque el cero aumenta la sobreoscilación.

Regulador P

Voy a aprovechar que ya tenemos éste ejemplo empezado para aprender a hacer un regulador P. Éste está compuesto simplemente por la ganancia que va a llevar al LDR el punto de diseño que nosotros queramos. Por ejemplo, si buscamos un tiempo de establecimiento (98%) de 2 segundos, diseñar el regulador P adecuado.

Un tiempo de establecimiento de 2 segundos nos indica que el punto de diseño está en s=-2+0i. A la vista del gráfico del LDR, sabemos que es posible hacer pasar por ése punto los polos sin más que variar la ganancia, ya que éste punto pertenece al LDR. ¿Y si no tenemos el gráfico? Entonces recurrimos al criterio del argumento: un cálculo que nos indica si el LDR pasa por el punto que deseamos sin tener que hacer gráfico (cosa imposible de hacer a mano en ocasiones).

¿De qué trata el criterio del argumento? Calculamos todos los ángulos que forman los polos y ceros en bucle abierto con el polo deseado (dominante) en bucle cerrado, y sumamos los ángulos de los polos y restamos los ángulos de los ceros. Si el resultado da 180º (o múltiplos enteros impares de éste), entonces el LDR pasa por el punto deseado. El ángulo que buscamos es, pongamos un mapa cualquiera, éste:

Con dos polos en -3 y -4 y un cero en -7, buscamos los ángulos marcados con el punto de diseño s = -1+1i. El resultado de éstos es alfa1=26.565º, alfa2=18.434, alfa3=9.462º, suma y resta = 35.537º. En éste caso, el LDR no pasa por el punto deseado, por lo que para forzarlo usaremos un derivador, que veremos más adelante. Si volvemos a nuestro ejemplo anterior, veremos que alfa1=0º, alfa2=0º y alfa3=180º, por lo que el LDR sí que pasa por el punto que buscamos.

Una vez sabemos, y no antes, que el LDR pasa por nuestro punto de diseño, falta saber qué ganancia tenemos que aplicar para llegar hasta él. Para ello usamos el criterio del módulo. Ésto es: calculamos todas las distancias de polos y ceros hasta el punto de diseño, y multiplicamos las distancias de los polos y dividimos la distancia de los ceros. En el ejemplo: d1 = 1, d2 = 2, d3 (cero) = 1. Resultado: 1*2/1 = 2. Sin embargo, ésta no es la ganancia final, ésta la llamamos Kldr, cuando nosotros buscamos Kr. Kr es la ganancia de la fdt en bucle abierto, en éste caso 1.

Si tuviésemos una Gba= 4*ceros/polos, la Kr sería 2/4 = 0.5. Kr = Kldr/Kba.

Volviendo a nuestro ejemplo, necesitamos una ganancia de 2 para que se cumpla la especificacion:

(Los puntos rosas son el punto de diseño, polo en bucle cerrado que va desde -3 hasta -1, y el otro polo en bc que sale del polo en -4 y se iría hasta menos infinito, que también afecta a la respuesta pero no lo tenemos en cuenta al no ser dominante)

(el tiempo no es exacto debido a la precisión, al usar otro método, del programa)

En éste caso no nos hemos preocupado para nada de la sobreoscilación, pero ésta, que relaciona la parte real con la imaginaria, se traza como un ángulo en el lugar de las raíces para ver en qué puntos nos estamos pasando de sobreoscilación. El ángulo se calcula:

Pongamos otro ejemplo: tenemos él siguiente lugar de las raíces y queremos que haya una sobreoscilación máxima del 15% y un tiempo de establecimiento de 2 segundos.

Hallamos que es un ángulo máximo de 58.873º y que el tiempo nos obliga a poner el polo sobre la parte real -2. Aprovechando que sabemos la parte real, calculamos la parte imaginaria: tg(angulo)*parte real = 3.312. Ya tenemos el punto de diseño, s=-2+3.312i. Pero, ¿no he dicho que es un ángulo máximo? Efectivamente, cualquier ganancia que haga estar al punto por debajo de él es válida, pero podemos buscar la máxima y quedar bien.

Con un rápido cálculo del criterio del módulo hallamos una ganancia de 11.96 y su respuesta es:

Otras cosas a tener en cuenta: si un polo o un cero están muy alejados (10 veces) del polo dominante, éstos no se toman en cuenta. Si un polo y un cero están muy cercanos (criterio de cada cual), se pueden despreciar para el cálculo (aunque la respuesta será algo diferente).

Automática 1: Entrada y respuesta

Ya introduje que dada una entrada, a la salida del sistema obtendremos una respuesta que se puede predecir con la función de transferencia.

Entradas típicas

Cada tipo de entrada de las que se vio en la tabla induce al sistema a responder de una manera distinta, ahora veréis la forma que tienen las entradas impulso, escalón y rampa:

En ésta gráfica sólo se observan el escalón y la rampa. El impulso no se ve por algo lógico: sólo dura un diferencial de tiempo, un espacio tan corto que no se molesta en dibujarlo, pero os aseguro que está ahí y llega hasta 1. Lo mismo ocurre con la subida del escalón, ya que ésta se hace en forma de impulso.

Pongamos ahora que nuestro sistema tiene ésta fdt:

Las respuestas con éstos tres tipos de entrada son distintas:

Como veis, cada respuesta sigue a su referencia. El impulso actúa un momento y vuelve a 0, por lo que siempre va a alcanzarse. El escalón no, y la rampa tampoco, debido a que tienen una ganancia estática y un error que veremos más adelante.

¿Qué es la ganancia estática? Ésto:

Por ejemplo, como tenemos la función de transferencia, si ponemos 0 donde hay s, se queda una Kest=1/3=0.3333

Y si os fijáis, 0.3333 (1 que vale el escalón por Kest) es donde se para la gráfica. Si ahora pongo escalones de distintos tamaños (1, 10 y 20):La respuesta termina exactamente en 1/3, 10/3 y 20/3.

Otra característica importante: ¿cuándo alcanza ésta referencia? Se suele usar la aproximación:

¿Veis que no cuadra la función de transferencia del tiempo que he dado con la del ejemplo? Éso es porque estamos usando una fdt de segundo o mayor grado, en éste caso sobreamortiguada, ya que no oscila. Sin embargo, si utilizásemos una  función tal como G=1/(4s+1) veríamos que ésta deja de ascender aproximadamente en 1 segundo.

Otro tipo de funciones de segundo grado son las subamortiguadas, supongamos que tenemos un proceso con una función de transferencia que está a continuación, una ganancia de 10 y un sensor de ganancia 1:

Calculamos la función de transferencia en bucle cerrado tal como decíamos arriba:

Si aplicamos un step (escalón) a ésto:

Que sea sobreamortiguado o subamortiguado se debe a los parámetros de la función coeficiente de amortiguamiento y pulsación natural.

¿Qué nos interesa medir aquí? Vamos a introducir los mapas de polos. ¿Qué es un polo? Si escribimos la función en bucle abierto, vemos que en la parte de debajo queda una ecuación que se puede simplificar y extraer sus raíces, que en éste caso son s=-0.8455 +- 1.7316i y s=-4.3089. Podemos dibujar éstos puntos en un plano real-imaginario:

A los polos más cercanos (que son los imaginarios en éste caso), los llamamos los polos dominantes. Son los que mandan. Además, cuanto más cerca del 0, más lenta es la respuesta. Si  los polos dominantes están en el eje negativo, la respuesta es estable. Si por casualidad se encuentran sobre el 0, la respuesta es oscilatoria (no va a seguir la referencia jamás, va a ir y venir, como una onda senoidal). Por último, si cualquier polo se encuentra en el eje positivo, la respuesta es inestable.

¿De qué nos sirve saber el polo dominante? Pues para saber por ejemplo:

• tiempo de establecimiento: 4/[Parte real] = 4.73 s en el ejemplo
• sobreoscilación: cuando tiene un pico al principio, se pasa del valor final, a la diferencia entre el valor máximo de dicho pico y el valor estable (no el de referencia) la llamamos sobreoscilación, y se suele expresar en porcentaje:

Sería aproximadamente un 21.56%

• tiempo de pico: en qué momento se produce el pico que hemos mencionado antes: tp = pi/[parte imaginaria], en éste caso 1.81 s.
• error: se puede observar que dada una referencia de 1, ha acabado entre 0.6 y 0.7, dicho error se puede calcular mediante ésta tabla:

¿Qué significa el tipo de sistema? Es la cantidad de integradores que tiene. Un integrador se añade en el regulador, pero suele hacer el sistema inestable. Se expresa como 1/s. Es decir, es tipo es el número de raíces s=0 que tiene el denominador bucle abierto. En éste caso, ninguno, por lo que el error es de 0.375. Si teníamos una referencia de 1-0.375 = 0.625 que coincide con el punto en el que entra en régimen permanente.

Puedo comprobar ésto gráficamente, aunque los resultados que da el software son mucho más precisos y siguen otros métodos: